В 1971 году Леонид Николаевич поступил в Александровский эксплуатационный участок электромехаником крана. С самого начала трудовой деятельности зарекомендовал себя человеком инициативным, целеустремленным, неравнодушным к общественной жизни. Через три года Леонид Николаевич был избран вторым секретарем ВЛКСМ в Александровском райкоме ВЛКСМ ТО, уже в 1978 он становится первым секретарем стрежевского горкома ВЛКСМ, позже занимает пост председателя стрежевского горисполкома. С 1986 по 1990 годы Влесков Л.Н. занимает должность первого секретаря стрежевского горкома КПСС. Леонид Николаевич большое внимание уделял социально-экономическому развитию города. При его непосредственном участии ежегодно вводилось более 60 т.кв.м. жилья, высокими темпами велось строительство социальных объектов. Активно развивался аграрный комплекс в городе и районе: тепличный комбинат, птицефабрики, увеличивалось поголовье дойного стада. Это позволяло снижать напряженность в обеспечении горожан продуктами питания. С 1990 года Леонид Николаевич поступил на работу в ОАО «Томскнефть» ВНК. Под непосредственным руководством Леонида Николаевича в «Томскнефти» создавалась служба по связям с общественностью, развивался информационно-издательский центр. В 2006 году Влесков Л.Н. возглавил управление по связям с общественностью и внутренним коммуникациям ОАО «Томскнефть».
Влесков Леонид Николаевич награжден медалью «За освоение недр и развитие нефтегазового комплекса Западной Сибири». Звание «Почетный гражданин города Стрежевого» присвоено Леониду Николаевичу в 2007 году.